நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் — முக்கிய குறிப்புகள்

1. நேர்மாறு சார்பு ஏன் தேவை?

சைன், கொசைன் போன்ற முக்கோணவியல் சார்புகள் காலமுறை (periodic) சார்புகள்; எனவே அவை ஒன்றுக்கொன்று சார்பு (one-to-one) அல்ல. நேர்மாறு வரையறுக்க, ஒவ்வொரு சார்பின் சார்பகத்தையும் ஒரு சிறப்புப் பகுதிக்கு (முதன்மை வீச்சகம்) குறுக்கி, அப்பகுதியில் அது ஒன்றுக்கொன்று ஆகும்படி செய்கிறோம். அந்த முதன்மை வீச்சகமே நேர்மாறு சார்பின் மதிப்புகள் அமையும் இடம்.

2. முதன்மை சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம்

• \( \sin^{-1}x \): சார்பகம் \( [-1,1] \), வீச்சகம் \( \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \).
• \( \cos^{-1}x \): சார்பகம் \( [-1,1] \), வீச்சகம் \( [0,\pi] \).
• \( \tan^{-1}x \): சார்பகம் \( \mathbb{R} \), வீச்சகம் \( \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) \).
• \( \operatorname{cosec}^{-1}x \): சார்பகம் \( |x|\ge 1 \), வீச்சகம் \( \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\} \).
• \( \sec^{-1}x \): சார்பகம் \( |x|\ge 1 \), வீச்சகம் \( [0,\pi]\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\} \).
• \( \cot^{-1}x \): சார்பகம் \( \mathbb{R} \), வீச்சகம் \( (0,\pi) \).

3. நிரப்பு (complementary) முற்றொருமைகள்

தேர்வில் அடிக்கடி பயன்படும் மிக முக்கியமான முற்றொருமைகள்:

• \( \sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\dfrac{\pi}{2} \)
• \( \tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\dfrac{\pi}{2} \)
• \( \sec^{-1}x+\operatorname{cosec}^{-1}x=\dfrac{\pi}{2} \)

இவையே பல MCQ-களின் சுருக்கமான தீர்வுக்கு அடிப்படை.

4. பயனுள்ள மாற்றங்கள்

• \( \operatorname{cosec}^{-1}\dfrac{1}{x}=\sin^{-1}x \), \( \sec^{-1}\dfrac{1}{x}=\cos^{-1}x \), \( \cot^{-1}\dfrac{1}{x}=\tan^{-1}x \) (\( x>0 \)).
• செங்கோண முக்கோண முறை: \( \sin(\tan^{-1}x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \), \( \cos(\tan^{-1}x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \).
• \( 2\tan^{-1}x=\sin^{-1}\dfrac{2x}{1+x^{2}} \) (\( |x|\le 1 \)).

5. தேர்வில் வரும் பொதுவான பொறிகள் (traps)

• வீச்சகத்தை மறப்பது: \( \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta \) என்பது \( \theta \) முதன்மை வீச்சகத்தில் இருந்தால் மட்டுமே; இல்லையெனில் சமமான கோணத்தை வீச்சகத்திற்குள் கொண்டுவர வேண்டும்.
• குறி (sign): \( \cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x \) ஆனால் \( \sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x \). கொசைன், காட்டான்ஜென்ட், செக்கன்ட் வகைகளில் குறி \( \pi- \) ஆக மாறும்.
• கூட்டல் சூத்திரம்: \( \tan^{-1}x+\tan^{-1}y=\tan^{-1}\dfrac{x+y}{1-xy} \) என்பது \( xy<1 \) எனும்போது மட்டுமே நேரடியாகப் பொருந்தும்.
• சார்பகம்: \( \sec^{-1}, \operatorname{cosec}^{-1} \) ஆகியவை \( |x|<1 \) -க்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.

உத்தி: முதலில் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஒரே சார்பாக (பெரும்பாலும் \( \sin^{-1} \) அல்லது \( \tan^{-1} \)) மாற்றுங்கள்; பின் நிரப்பு முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்துங்கள்.