சமன்பாட்டியல் — படிப்புக் குறிப்புகள்

1. பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகள் — அடிப்படை

ஒரே மாறி \( x \) கொண்ட பொதுப் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு \( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=0 \) வடிவில் இருக்கும். இங்கு \( a_{n}\neq 0 \) எனில் படி \( n \); \( a_{n} \) தலைமைக் கெழு; \( a_{0} \) மாறிலி உறுப்பு. படி \( 2,3,4 \) கொண்டவை முறையே இருபடி, முப்படி, நாற்படிச் சமன்பாடுகள்.

• ஒரு சமன்பாட்டின் மூலம் என்பது அதனை நிறைவு செய்யும் \( x \) -ன் மதிப்பு; \( P(x)=0 \) -ன் தீர்வே மூலம் (பூச்சியம்).
• இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்: \( n\ (\ge 1) \) படியுள்ள ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கும், பெருக்குத்திறனுடன் எண்ணினால், சரியாக \( n \) கலப்பெண் மூலங்கள் உண்டு.

2. வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் (மூலங்களும் கெழுக்களும்)

இருபடி \( ax^{2}+bx+c=0 \), மூலங்கள் \( \alpha,\beta \): \( \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\quad \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \).

முப்படி \( ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \), மூலங்கள் \( \alpha,\beta,\gamma \): \[ \sum\alpha=-\frac{b}{a},\qquad \sum\alpha\beta=\frac{c}{a},\qquad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}. \]

நாற்படி \( ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0 \): \[ \sum\alpha=-\frac{b}{a},\ \ \sum\alpha\beta=\frac{c}{a},\ \ \sum\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a},\ \ \alpha\beta\gamma\delta=\frac{e}{a}. \]

பொதுவாக \( k \) -ஆவது அடிப்படை சமச்சீர்ச் சார்பு \( =(-1)^{k}\dfrac{a_{n-k}}{a_{n}} \).

3. மூலங்களிலிருந்து சமன்பாட்டை உருவாக்குதல்

மூலங்கள் தெரிந்தால், \( x^{n}-(\text{கூடுதல்})x^{n-1}+(\text{இரண்டிரண்டாகப் பெருக்கல் கூடுதல்})x^{n-2}-\cdots=0 \) என அமைக்கலாம். எ.கா. முப்படி: \( x^{3}-(\sum\alpha)x^{2}+(\sum\alpha\beta)x-\alpha\beta\gamma=0 \).

4. சிறப்பு மூலத் தேற்றங்கள்

• கலப்பெண் இணை மூலத் தேற்றம்: கெழுக்கள் மெய்யெண்கள் எனில், \( p+iq \) ஒரு மூலமாக இருந்தால் அதன் இணை \( p-iq \) -வும் மூலமாகும். எனவே கலப்பெண் மூலங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக வரும்.
• விகிதமுறா இணை மூலத் தேற்றம்: கெழுக்கள் விகிதமுறு எண்கள் எனில், \( p+\sqrt{q} \) (\( \sqrt{q} \) விகிதமுறா) ஒரு மூலமாக இருந்தால் \( p-\sqrt{q} \) -வும் மூலமாகும்.
• விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்: முழுக்கெழுக்கள் கொண்ட சமன்பாட்டின் விகிதமுறு மூலம் \( \dfrac{p}{q} \) (சுருங்கிய வடிவில்) எனில், \( p \) என்பது மாறிலி உறுப்பு \( a_{0} \) -ன் காரணியாகவும், \( q \) என்பது தலைமைக் கெழு \( a_{n} \) -ன் காரணியாகவும் இருக்கும்.

5. சிறப்பு வடிவச் சமன்பாடுகள்

• இரட்டைப் படிகளே கொண்டவை: \( y=x^{2} \) எனப் பதிலிட்டுப் படியைக் குறைத்துத் தீர்க்கலாம்.
• கெழுக்களின் கூடுதல் \( =0 \): அப்போது \( x=1 \) எப்போதும் ஒரு மூலம் (\( P(1)=0 \)).
• ஒற்றைப்படி உறுப்புகளின் கூடுதல் \( = \) இரட்டைப்படி உறுப்புகளின் கூடுதல்: அப்போது \( x=-1 \) ஒரு மூலம் (\( P(-1)=0 \)).
• தலைகீழ்ச் சமன்பாடுகள் (reciprocal): கெழுக்கள் இறுதியில் இருந்து எதிர்த்திசையில் ஒத்தவை. \( y=x+\dfrac{1}{x} \) எனப் பதிலிட்டுப் படியைப் பாதியாகக் குறைக்கலாம்.
• தொடர்வரிசையில் மூலங்கள்: கூட்டுத்தொடரில் இருந்தால் \( a-d,\,a,\,a+d \) எனவும், பெருக்குத்தொடரில் இருந்தால் \( \dfrac{a}{r},\,a,\,ar \) எனவும் கொண்டு வியட்டா சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துக.

6. டெஸ்கார்ட்டே குறி விதி

\( P(x) \) -ன் கெழுக்களில் ஏற்படும் குறிமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையே மிகை (நேர்) மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை; குறையெனில் இரண்டிரண்டாகக் குறையும். \( P(-x) \) -ன் குறிமாற்றங்கள் எதிர் மூலங்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கையைத் தரும். மீதி கலப்பெண் மூலங்கள். \( s \) குறிமாற்றங்கள், \( p \) மிகை மூலங்கள் எனில் \( s-p \) ஒரு குறையற்ற இரட்டை எண்.

7. தேர்வில் கவனிக்க வேண்டிய பொதுப் பிழைகள்

• கெழுக்களின் குறிகளை கவனமாக எடுக்க: \( \sum\alpha=-\dfrac{b}{a} \), மாறிலி உறுப்பின் குறி மாறும்.
• விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் முழுக்கெழுக்களுக்கே பொருந்தும்; \( p \) -ஐ மாறிலி உறுப்போடும், \( q \) -ஐ தலைமைக் கெழுவோடும் சரியாகப் பொருத்துக.
• இணை மூலத் தேற்றங்கள் கெழுக்கள் மெய்/விகிதமுறு எனில் மட்டுமே செல்லும்.
• டெஸ்கார்ட்டே விதி அதிகபட்ச எண்ணிக்கையே தரும்; சரியான எண்ணிக்கையை அல்ல.
• "பூச்சியம்", "மூலம்", "தீர்வு" — இவை ஒரே பொருளில் பயன்படுத்தப்படும்.