12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல் — நிகழ்தகவு பரவல்கள்: ஆன்லைன் பயிற்சித் தேர்வு

Explanation. சராசரியைக் காண்போம்: \(E(X)=\displaystyle\int_{1}^{\infty} x\cdot\dfrac{2}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{2}{x^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{2}{x}\right]_{1}^{\infty}=2\). எனவே சராசரி \(=2\) என வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்பாகக் கிடைக்கிறது. ஆனால் \(E(X^{2})=\displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{2}\cdot\dfrac{2}{x^{3}}\,dx=\int_{1}^{\infty}\dfrac{2}{x}\,dx=\big[2\ln x\big]_{1}^{\infty}\) ஆகும்; இத்தொகையீடு \(\infty\)-ஐ நோக்கி விரிவடைகிறது. \(E(X^{2})\) வரையறுக்கப்படாததால் பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)-ஐக் காண இயலாது. ஆகவே சராசரி மட்டுமே உள்ளது; பரவற்படி இல்லை.

Explanation. \(E(X)=\displaystyle\int_{0}^{l} x\cdot\dfrac{1}{l}\,dx=\dfrac{1}{l}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{l}=\dfrac{l}{2}\). \(E(X^{2})=\displaystyle\int_{0}^{l} x^{2}\cdot\dfrac{1}{l}\,dx=\dfrac{1}{l}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{l}=\dfrac{l^{2}}{3}\). எனவே \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\dfrac{l^{2}}{3}-\dfrac{l^{2}}{4}=\dfrac{4l^{2}-3l^{2}}{12}=\dfrac{l^{2}}{12}\). ஆகவே சராசரி \(\dfrac{l}{2}\), பரவற்படி \(\dfrac{l^{2}}{12}\).

Explanation. ஒவ்வொரு முகமும் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு \(\dfrac{1}{6}\). லாபம்/நட்டத்தைக் குறிக்கும் மாறி \(X\) எனில்: \(6\) விழும்போது \(+36\); \(k=1,2,3,4,5\) விழும்போது முறையே \(-1,-4,-9,-16,-25\). எனவே \(E(X)=\dfrac{1}{6}\big(36-1-4-9-16-25\big)=\dfrac{1}{6}\big(36-55\big)=-\dfrac{19}{6}\). எதிர்பார்க்கப்படும் தொகை எதிர்மறை என்பதால், சராசரியாக விளையாடுபவருக்கு இழப்பே ஏற்படும்.

Explanation. முதல் பகடையின் எண் \(\{1,2,3,4,5,6\}\)-லும், இரண்டாம் பகடையின் எண் \(\{1,2,3,4\}\)-லும் அமையும். கூட்டுத்தொகை \(7\) ஆகும் சோடிகள்: \((3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\). (முதல் பகடையில் \(1\) அல்லது \(2\) விழுந்தால் இரண்டாம் பகடைக்கு \(6\) அல்லது \(5\) தேவை; அவை இரண்டாம் பகடையில் இல்லாததால் நீக்கப்படுகின்றன.) எனவே \(7\)-ஐத் தரும் சோடிகள் \(4\); நேர்மாறுப் பிம்பத்தில் \(4\) உறுப்புகள் உள்ளன.

Explanation. ஈருறுப்புப் பரவலில் \(q=1-p=1-0.8=0.2\). பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=npq=25\times 0.8\times 0.2=4\). எனவே திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{4}=2\).

Explanation. \(n\) சுண்டல்களில் தலைகளின் எண்ணிக்கை \(i\) எனில், பூக்களின் எண்ணிக்கை \(n-i\) ஆகும் (\(i=0,1,\dots,n\)). எனவே \(X=(\text{தலைகள்})-(\text{பூக்கள்})=i-(n-i)=2i-n\). எடுத்துக்காட்டாக \(n=2\) எனில் \(i=0,1,2\)-க்கு \(X=-2,0,2\) எனக் கிடைக்கும்.

Explanation. ஒரு மாணவரைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, அதிக மாணவர்கள் உள்ள பேருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படும் வாய்ப்பு அதிகம் (அளவு-சார்பு தேர்வு). எனவே \(E(X)=\displaystyle\sum \dfrac{n_i}{160}\cdot n_i=\dfrac{42^{2}+36^{2}+34^{2}+48^{2}}{160}=\dfrac{1764+1296+1156+2304}{160}=\dfrac{6520}{160}=40.75\). ஆனால் ஓட்டுநரைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது ஒவ்வொரு பேருந்தும் சமமான \(\dfrac{1}{4}\) வாய்ப்புடையது; எனவே \(E(Y)=\dfrac{42+36+34+48}{4}=\dfrac{160}{4}=40\). ஆகவே \(E(X)=40.75,\ E(Y)=40\).

Explanation. எதிர்பார்ப்பின் கூட்டல் பண்பின்படி, தனித்தனி நாணயங்களின் தலை எண்ணிக்கைகளின் எதிர்பார்ப்புகளைக் கூட்டலாம். ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தலை விழும் எண்ணிக்கை ஒரு பெர்னோலி மாறி; அதன் எதிர்பார்ப்பு அதன் வெற்றி நிகழ்தகவே. எனவே \(E(X)=0.6+0.5=1.1\).

Explanation. ஒரு வினாவிற்குச் சரியாக ஊகிக்கும் நிகழ்தகவு \(p=\dfrac{1}{3}\), தவறான நிகழ்தகவு \(q=\dfrac{2}{3}\); \(n=5\) எனவே \(X\sim B\!\left(5,\dfrac{1}{3}\right)\). \(P(X\geq 4)=P(X=4)+P(X=5)\). \(P(X=4)=\dbinom{5}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{5\cdot 2}{243}=\dfrac{10}{243}\); \(P(X=5)=\dbinom{5}{5}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}=\dfrac{1}{243}\). கூட்டினால் \(P(X\geq 4)=\dfrac{10}{243}+\dfrac{1}{243}=\dfrac{11}{243}\).

Explanation. \(P(X=0)=1-P(X=1)\) என்பதிலிருந்து \(P(X=0)+P(X=1)=1\); எனவே \(X\) ஆனது \(0,1\) என்ற இரு மதிப்புகளை மட்டுமே பெறுகிறது. \(P(X=0)=n\) எனில் \(P(X=1)=1-n\). \(E(X)=0\cdot n+1\cdot(1-n)=1-n\) மற்றும் \(E(X^{2})=0^{2}\cdot n+1^{2}\cdot(1-n)=1-n\). எனவே \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=(1-n)-(1-n)^{2}=(1-n)\,n\). தரப்பட்ட நிபந்தனை \(E(X)=3\operatorname{Var}(X)\Rightarrow 1-n=3(1-n)n\). \(1-n\neq 0\) எனக் கொண்டால் \(1=3n\Rightarrow n=\dfrac{1}{3}\). எனவே \(P(X=0)=\dfrac{1}{3}\).

Explanation. \(np=6\) மற்றும் \(npq=2.4\) எனவே \(q=\dfrac{2.4}{6}=0.4=\dfrac{2}{5}\), \(p=1-q=\dfrac{3}{5}\), மேலும் \(n=\dfrac{6}{p}=\dfrac{6}{3/5}=10\). எனவே \(X\sim B\!\left(10,\dfrac{3}{5}\right)\) மற்றும் \(P(X=5)=\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{10-5}=\dbinom{10}{5}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}\).

Explanation. \(P(X=1)=k\,P(X=0)=\dfrac{k}{7}\) மற்றும் \(P(X=2)=k\,P(X=1)=\dfrac{k^{2}}{7}\). அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை \(1\) ஆதலால் \(\dfrac{1}{7}+\dfrac{k}{7}+\dfrac{k^{2}}{7}=1\Rightarrow 1+k+k^{2}=7\Rightarrow k^{2}+k-6=0\Rightarrow (k+3)(k-2)=0\). நிகழ்தகவு எதிர்மறையாக இருக்க முடியாததால் \(k=-3\) நிராகரிக்கப்படுகிறது; எனவே \(k=2\).

Explanation. எண்ணி அளவிடக்கூடிய (முழு எண்களாக எண்ணத்தக்க) அளவைகள் தனிநிலை மாறிகள். கார்களின் எண்ணிக்கை (I) மற்றும் வரிசையில் உள்ள வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கை (II) ஆகியவை எண்ணப்படுபவை — எனவே தனிநிலை. ஆனால் அழைப்பை முடிக்கும் நேரம் (III) ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான மதிப்புகளைப் பெறக்கூடியது — எனவே தொடர்ச்சியான மாறி. ஆகவே I மற்றும் II மட்டுமே தனிநிலை.

Explanation. அடர்த்தி சார்பின் கீழுள்ள மொத்தப் பரப்பு \(1\) ஆக இருக்க வேண்டும்: \(\displaystyle\int_{0}^{a}2x\,dx=\big[x^{2}\big]_{0}^{a}=a^{2}=1\). எனவே \(a^{2}=1\Rightarrow a=1\) (\(a\) ஒரு நீளம் என்பதால் நேர்மறை மதிப்பு).

Explanation. நிகழ்தகவு நிறை சார்பாதலால் \(\sum f(x)=k+2k+3k+4k+5k=15k=1\Rightarrow k=\dfrac{1}{15}\). \(E(X)=\sum x\,f(x)=(-2)k+(-1)(2k)+0(3k)+1(4k)+2(5k)=-2k-2k+4k+10k=10k=10\times\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{3}\).

Explanation. பெர்னோலி பரவலில் சராசரி \(\mu=p=0.4\); எனவே \(q=1-p=0.6\) மற்றும் \(\operatorname{Var}(X)=pq=0.4\times 0.6=0.24\). \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X)\) என்ற பண்பின்படி \(\operatorname{Var}(2X-3)=2^{2}\times 0.24=4\times 0.24=0.96\). (கூட்டல் மாறிலி \(-3\) பரவற்படியை மாற்றாது.)

Explanation. \(X\sim B(6,p)\). \(P(X=4)=\dbinom{6}{4}p^{4}q^{2}\), \(P(X=2)=\dbinom{6}{2}p^{2}q^{4}\); \(\dbinom{6}{4}=\dbinom{6}{2}\) ஆதலால் \(9p^{4}q^{2}=p^{2}q^{4}\Rightarrow 9p^{2}=q^{2}\). \(q=1-p\) எனப் பதிலிட்டு நேர்மறை மூலத்தை எடுத்தால் \(3p=1-p\Rightarrow 4p=1\Rightarrow p=0.25\). எனவே வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு \(0.25\).

Explanation. ஒரு வாடிக்கையாளருக்கு விற்பதற்கான நிகழ்தகவு \(p=\dfrac{1}{20}\), விற்காததற்கான நிகழ்தகவு \(q=\dfrac{19}{20}\); \(n=3\) எனவே \(X\sim B\!\left(3,\dfrac{1}{20}\right)\). சரியாக இருவருக்கு விற்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(X=2)=\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\left(\dfrac{19}{20}\right)=3\times\dfrac{1}{400}\times\dfrac{19}{20}=\dfrac{57}{20^{3}}\ \left(=\dfrac{57}{8000}\right)\).