நிகழ்தகவு பரவல்கள் — படிப்புக் குறிப்புகள்

1. சமவாய்ப்பு மாறி (Random Variable)

ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையின் கூறுவெளி \(S\)-ல் உள்ள ஒவ்வொரு விளைவுக்கும் ஒரு மெய்யெண்ணை இணைக்கும் சார்பே சமவாய்ப்பு மாறி எனப்படும். அதாவது \(X:S\to\mathbb{R}\). இது பெறும் மதிப்புகளின் தன்மையைப் பொறுத்து இரு வகைப்படும்:

• தனிநிலை (Discrete): எண்ணி அளவிடக்கூடிய — வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணத்தக்க முடிவிலா — மதிப்புகளைப் பெறுவது. எ.கா. பகடையில் விழும் எண், தலைகளின் எண்ணிக்கை.
• தொடர்ச்சியான (Continuous): ஒரு இடைவெளியில் உள்ள எல்லா மதிப்புகளையும் பெறக்கூடியது. எ.கா. நேரம், உயரம், எடை.

2. நிகழ்தகவு நிறை சார்பு (Probability Mass Function, pmf)

தனிநிலை மாறி \(X\) ஆனது \(x_1,x_2,\dots\) மதிப்புகளைப் பெறுகையில், \(f(x_i)=P(X=x_i)\) என்பது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு. இது பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும்:

• \(f(x_i)\geq 0\) — ஒவ்வொரு \(i\)-க்கும்,
• \(\displaystyle\sum_i f(x_i)=1\).

3. பரவல் சார்பு / குவிவு பரவல் சார்பு (Cumulative Distribution Function, cdf)

\(F(x)=P(X\leq x)\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. முக்கியப் பண்புகள்:

• \(F\) ஒரு குறையாத (non-decreasing) சார்பு,
• \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\quad \lim_{x\to\infty}F(x)=1\),
• தனிநிலை மாறிக்கு \(F\) ஒரு படிநிலை (step) சார்பாகும்; \(P(X=x_i)=F(x_i)-F(x_i^{-})\) — அதாவது ஒவ்வொரு படியின் "உயரமே" அந்த மதிப்பின் நிகழ்தகவு.

4. தொடர்ச்சியான பரவலும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பும் (pdf)

தொடர்ச்சியான மாறி \(X\)-க்கு, அடர்த்தி சார்பு \(f(x)\) பின்வருவனவற்றை நிறைவு செய்கிறது:

• \(f(x)\geq 0\) — எல்லா \(x\)-க்கும்,
• \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1\),
• \(P(a\leq X\leq b)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx\) — நிகழ்தகவு என்பது வளைகோட்டின் கீழ் உள்ள பரப்பு,
• தனிப்புள்ளி நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியம்: \(P(X=a)=0\). எனவே \(<\) மற்றும் \(\leq\) ஒரே மதிப்பைத் தரும்.

cdf-உம் pdf-உம் தொடர்பு: \(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(u)\,du\) மற்றும் வகையிடத்தக்க இடங்களில் \(f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=F'(x)\).

5. கணித எதிர்பார்ப்பு, சராசரி, பரவற்படி (Expectation, Mean, Variance)

• தனிநிலை: \(E(X)=\displaystyle\sum_i x_i\,f(x_i)\); தொடர்ச்சியான: \(E(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx\).
• சராசரி \(\mu=E(X)\).
• பரவற்படி \(\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\); திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).

எதிர்பார்ப்பின் முக்கியப் பண்புகள் (\(a,b\) மாறிலிகள்):

• \(E(aX+b)=aE(X)+b\),
• \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X)\) — கூட்டல் மாறிலி \(b\) பரவற்படியை மாற்றாது,
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) — எதிர்பார்ப்பின் கூட்டல் பண்பு; சார்பின்மை தேவையில்லை.

6. சில சிறப்புத் தனிநிலைப் பரவல்கள்

• ஒரு புள்ளிப் பரவல்: \(X\) ஒரே மதிப்பு \(x_0\)-ஐ உறுதியாகப் பெறுவது; சராசரி \(x_0\), பரவற்படி \(0\).
• இரு புள்ளிப் பரவல்: \(X\) இரு மதிப்புகளை மட்டுமே பெறுவது.
• பெர்னோலி பரவல்: ஒரே ஒரு சோதனையில் வெற்றி (\(X=1\), நிகழ்தகவு \(p\)) அல்லது தோல்வி (\(X=0\), நிகழ்தகவு \(q=1-p\)). சராசரி \(p\), பரவற்படி \(pq\).
• ஈருறுப்புப் பரவல்: \(n\) சார்பற்ற பெர்னோலி சோதனைகளில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை \(X\sim B(n,p)\). நிறை சார்பு \(f(x)=\dbinom{n}{x}p^{x}q^{\,n-x}\), \(x=0,1,\dots,n\). சராசரி \(\mu=np\), பரவற்படி \(\sigma^{2}=npq\).

7. தேர்வில் கவனிக்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• சராசரி இருந்தாலும் \(E(X^{2})\) விரிவடைந்தால் பரவற்படி இருக்காது — மேம்படுத்தப்படாத தொகையீடுகளை (improper integrals) கவனமாகச் சரிபார்க்கவும் (வினா 1).
• "ஒரு மாணவரைத் தேர்வது" என்பதும் "ஒரு பேருந்தை/ஓட்டுநரைத் தேர்வது" என்பதும் வெவ்வேறு நிகழ்தகவுப் பரவல்களைத் தரும்; அளவு-சார்பு (size-biased) எதிர்பார்ப்பைக் கவனிக்கவும் (வினா 8).
• \(\operatorname{Var}(aX+b)\)-ல் \(a\) வர்க்கமாகவும், கூட்டல் மாறிலி \(b\) எவ்வித மாற்றமும் தராமலும் வரும் (வினா 18).
• ஈருறுப்புப் பரவலில் \(p+q=1,\ 0
• \(\dbinom{n}{x}p^{x}q^{\,n-x}\)-ல் அடுக்குகள் \(x\) மற்றும் \(n-x\) என்பதைச் சரியாக இடவும்.